Art x Learn + Science ÷ Fun = Success : Integral Trigonometri

Sumber : http://www.meetmath.com/531248-materi-integral-trigonometri.html

$\int cos(ax+b)\;dx=\frac 1a\;sin(ax+b)+C$

$\int sin(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cos(ax+b)+C$

$\int sec^2(ax+b)\;dx=\frac 1a\;tan(ax+b)+C$

$\int cosec^2(ax+b)\;dx=-\frac 1a\;cot(ax+b)+C$

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :
$\begin{align*}1.\;\;\int sin\;4x\;dx&=&-\frac 14\;cos\;4x+C \end{align*}$

$\begin{align*}2.\;\;\int cos\;(7x-5)\;dx&=&\frac 17\;sin\;(7x-5)+C \end{align*}$

$\begin{align*}3.\;\;\int 3\;sin\;(2-6x)\;dx&=&-\left (\frac{3}{-6} \right )\;cos\;(2-6x)+C\\&=&\frac 12\;cos(2-6x)+C \end{align*}$

$\begin{align*}4.\;\;\int \left (sin\;2x-3\;cos\;5x \right )dx&=&-\frac 12\;cos\;2x-\frac 35sin\;5x+C \end{align*}$

Setelah paham dengan rumus dan sifat-sifat integral, syarat yang lain untuk bisa mengerjakan integral trigonometri yaitu harus ingat kembali rumus-rumus trigonometri,lho ya…..
hayoooo hafal gak,neh..???
Coba perhatikan latihan soal dan pembahasan integral trigonometri berikut ini yuuuukk….

1. $\int sin^2\;3x\; dx$ = …..

untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai rumus trigonomtri

${\color{Red} sin^2\;x=\frac 12-\frac 12\;cos\;2x}$ sehingga

$\begin{align*}sin^2\;3x&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;2(3x)\\&=&\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \end{align*}$

Maka :

$\begin{align*}\int sin^2\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12-\frac 12\;cos\;6x \right )dx\\&=&\frac 12x-\frac 12.\frac 16\;sin\;6x+C\\&=&\frac 12x-\frac{1}{12}\;sin\;6x+C \end{align*}$

2. $\int \;sin\;5x.cos\;3x\;dx$ = …

nah, yang ini pakai ${\color{Red} sin\;x.cos\;y=\frac 12.sin(x+y)+\frac 12.sin(x-y)}$

sehingga :

$\begin{align*}sin\;5x.cos\;3x&=&\frac 12.sin(5x+3x)+\frac 12.sin(5x-3x)\\&=&\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \end{align*}$

maka :

$\begin{align*}\int sin\;5x.cos\;3x\;dx&=&\int \left (\frac 12.sin\;8x+\frac 12.sin\;2x \right )dx\\&=&-\frac 12.\frac 18.cos\;8x+\frac 12.\frac 12.\left (-cos\;2x \right )+C\\&=&-\frac{1}{16}\;cos\;8x-\frac 14\;cos\;2x+C \end{align*}$

3. $\int 6\;sin\;4x.sin\2x\;dx$ = …

ingat ${\color{Red} sin\;x.sin\;y=-\frac 12.cos(x+y)+\frac 12.cos(x-y)}$

sehingga :

$\begin{align*}sin\;4x.sin\;2x&=&-\frac 12.cos(4x+2x)+\frac 12.cos(4x-2x)\\&=&-\frac 12.cos\;6x+\frac 12.cos\;2x \end{align*}$

maka :

$\begin{align*}\int 6\;sin\;4x.sin\;2x\;dx&=&\int 6\left ( -\frac12.cos\;6x+\frac12.cos\;2x \right )dx\\&=&\int \left (-3.cos\;6x+3.cos\;2x \right )dx\\&=&-3.\frac16.sin\;6x+3.\frac12.sin\;2x+C\\&=&-\frac12\;sin\;6x+\frac32\;sin\;2x+C\end{align*}$